請教一四點(diǎn)支撐平臺(tái)各支點(diǎn)承重量計(jì)算的問題

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如下面的俯視圖，
# Y; x' L. t% K; L6 C' r& n* E* v+ ]! ]% s
平臺(tái)為一剛性水平臺(tái)，由彈性支撐件P1,P2,P3,P4支撐。工作臺(tái)重心為圖中W點(diǎn)?？傎|(zhì)量為W.
- o5 o/ K# e1 U幾何尺寸如圖中所示.
/ r8 J* y4 [1 C6 m) C$ P9 v" ^% w請問怎樣計(jì)算各個(gè)支撐件P1,P2,P3,P4的受力大?。?br /> 2 @5 g" w, d9 r5 ?  t& z
8 R$ X  N) S" m. u

李贛

1、受力
* i( }+ p( ?- p0 D7 v& E2、力矩
平衡

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1、受力
2、力矩
5 z# a$ l( a* V0 @/ ?2 f" s# B平衡
+ _. K% J( Q4 k3 e" r( w9 C# C8 {lit_hiker 發(fā)表于 2009-9-28 15:51

. l( O, j6 Y5 \' V  E) t2 s( Z- S
不知道怎么建立力矩平衡方程，能詳細(xì)講下么？
- [* y) [* O: ^& K0 Z謝謝

小白菜

可以先把同一側(cè)的兩點(diǎn)當(dāng)成一點(diǎn)，算出來后再把合成一點(diǎn)的兩點(diǎn)的力再算一次，高中的同向平行力。

李贛

把旋轉(zhuǎn)軸設(shè)定在兩個(gè)支點(diǎn)上，這兩點(diǎn)的力的力臂為零。

草原蒙狼

樓主需要補(bǔ)補(bǔ)課  上述用平面匯交力系可解  授人與魚不如授人與漁

請看下面  力學(xué)教材

0 ^1 J* u1 S7 L" r! r; d2.1 平面匯交力系

平面匯交力系的工程實(shí)例：
5 i& R6 `! W: P- E8 p  x" L& v
5 L7 {: j; i4 Y+ J1 F

2.1.1 力的分解
* W; E3 V3 j4 \7 k2 S
按照平行四邊形法則，兩個(gè)共作用點(diǎn)的力，可以合成為一個(gè)合力，解是唯一的；
$ S3 d$ O: m% W( z
. Q* j  M0 N, v6 c: ^但反過來，要將一個(gè)已知力分解為兩個(gè)力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。

( V; {5 A/ k9 {' @2.1.2 力在坐標(biāo)軸上的投影

; Z( C6 l/ g5 J* N
, A# `* k9 j1 v' \; H* G

% m" O; M( E2 {) K注意:力的投影是代數(shù)量，它的正負(fù)規(guī)定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時(shí)，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負(fù)值。



7 i, M* r( M* n# i- l1 {2.1.3合力投影定理

4 {* a% u3 }4 V! {" u
8 |, e# @; b" t" e
; Y# E2 z- Z' r0 Z
/ ~* t2 _+ b' U* ]



" V. S- F8 C& J. ^  g, ^! u
3 s+ \) Z5 L& C8 L0 g/ B. A% n合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。
6 D+ w1 h2 W& ^5 s# u5 _7 d$ w
2.1.4 平面匯交力系的平衡條件

2 X1 M; ^1 y2 g3 V平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態(tài)。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即
2 I2 V, I) W4 I, u
: ?" ^- E0 t; a. P

* |& ?* o9 _1 R  m即


. j( R4 |& U/ D  C5 v

力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上投影的代數(shù)和都等于零。這是兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量。

. e6 y  [$ v% q/ Q- `( U" s例2-1 如圖所示為一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大?。?font class="jammer">: `3 l- i1 i; i

; u: e! v3 ?9 _: O  K& J0 F' H

例2-2 圖示為一簡易起重機(jī)裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計(jì)，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計(jì)，各處接觸都為光滑。試求當(dāng)重物被勻速提升時(shí)，桿AB、AC所受的力。
5 s! ~  z$ K- ]# Z
! g& P6 j  q* S

( Q3 c# L/ O  k5 T解 因?yàn)闂UAB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有


% B/ k1 K* r( C: [/ r& P! N
解靜力學(xué)平衡問題的一般方法和步驟：
4 T* I  N. O& [4 y1 e
1.選擇研究對象 所選研究對象應(yīng)與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關(guān)系，這樣才能應(yīng)用平衡條件由已知條件求未知力；

0 p5 V* a/ x/ f9 B2.畫受力圖 根據(jù)研究對象所受外部載荷、約束及其性質(zhì)，對研究對象進(jìn)行受力分析并得出它的受力圖。
# J4 X1 A/ b+ I/ N# b, U5 z
! O7 x7 i% P7 b/ |7 r" k+ g+ d3.建立坐標(biāo)系，根據(jù)平衡條件列平衡方程 在建立坐標(biāo)系時(shí)，最好有一軸與一個(gè)未知力垂直。

0 t" R  h9 {4 i- `: e, u& F在根據(jù)平衡條件列平衡方程時(shí)，要注意各力投影的正負(fù)號(hào)。如果計(jì)算結(jié)果中出現(xiàn)負(fù)號(hào)時(shí)，說明原假設(shè)方向與實(shí)際受力方向相反。
( A* W( ~0 Q9 S
2.2 力矩與平面力偶系
: w* [$ g  k% d: f( g, K. I
; ]4 H* I' i% I( J. P3 o; R2.2.1 力對點(diǎn)之矩?(簡稱為力矩)

- j( A. b" _7 G' |) J) V8 `3 g1.力對點(diǎn)之矩的概念

; L4 B2 s  W) j# Z8 _# c為了描述力對剛體運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，引入力對點(diǎn)之矩的概念。

9 \. |0 U/ V0 d- Y! G* V! z' y

$ S. i) h  D. Z8 L0 q# R力對點(diǎn)之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd

- u# m- C) L# a2 d- P& P) X! O* m一般地，設(shè)平面上作用一力F，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O——矩心，O點(diǎn)到力作用線的垂直距離d稱為力臂。
# o. v: _: i) A2 o

* o" T' S# B6 F" F; J
Mo( F ) = ± 2△OAB

$ b6 b4 w3 X: F6 a# x! ~+ J力對點(diǎn)之矩是一代數(shù)量，式中的正負(fù)號(hào)用來表明力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。

: m. f: B6 ~# V4 I矩心不同，力矩不同。
! F* w) V* N; S5 F& g
規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。

  N1 {' Q- s" Q) ^/ G* W力矩的單位是Nmm。

由力矩的定義可知：
0 p( y! C! F- }) @  S
# r8 i2 i$ g( u6 H! z& }（1）若將力F沿其作用線移動(dòng)，則因?yàn)榱Φ拇笮?、方向和力臂都沒有改變，所以不會(huì)改變該力對某一矩心的力矩。
% p8 z/ L! f# y% U5 h5 I
（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F(xiàn)≠0，則d=0，即力F通過O點(diǎn)。
, o! Q% q; _- S+ n; ^
力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。

4 l+ b. b' T6 A  l9 Q2.合力矩定理
5 ~3 h" Q0 o# j3 h3 n7 B
2 S- W3 m- w% E' ?8 ~6 t( g設(shè)在物體上A點(diǎn)作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。

1 F5 |7 E) B: J- w6 g" x
$ J! Z- ], l( B
計(jì)算力系中各力對平面內(nèi)任一點(diǎn)O的矩，令OA=l，則

Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl

Mo(F2)=F2yl

0 v( ?5 C: b9 @+ W( u2 F$ I3 ^Mo(Fn)=Fnyl

由上圖可以看出，合力F對O點(diǎn)的矩為
  A; n% d0 @/ G: M4 ~2 X5 S; K
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl

, }7 C$ w  p. H7 Q8 j, v據(jù)合力投影定理，有
* F2 T1 e2 m# [( h& b; e2 e9 ]1 a0 o
% M* Q. e3 |, w; AFy=F1y+F2y+---+Fny
; w4 `$ J0 w& e# M8 f3 U6 p3 I- o* n
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
6 [$ _' O# H8 J0 b
即
% x! ]1 i- z' j! h9 J
9 [% C: {; S. x, T  OMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)



合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于其所有分力對同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。
6 ?6 O; T$ R! \) z8 d
3.力對點(diǎn)之矩的求法(力矩的求法)

（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。

注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?
( A- O; g) v9 [: F8 Q; D( N' `- ]
4 B% e) t- p; W（2）運(yùn)用合力矩定理求力矩。力分解
5 O1 R* ^5 J. x$ j& h
& B4 g3 g0 p9 a0 F例2-3 如圖所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點(diǎn)，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點(diǎn)的力矩。



9 \( u$ b  U6 q解 （1）利用力矩的定義進(jìn)行求解



0 N! v, A3 h7 }如圖，過點(diǎn)O作出力F作用線的垂線，與其交于a點(diǎn),則力臂d即為線段oa 。再過B點(diǎn)作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點(diǎn)，則有
' R9 T, Q2 \4 E1 N9 U) {4 b; k8 d

" B+ z# G" B& L; i
3 }8 [3 e) a/ f9 t3 _（2）利用合力矩定理求解

將力F分解成一對正交的分力


6 u$ F* W5 K0 C8 q$ e* w5 f2 z: i9 ]8 t; `
6 V9 m, y+ ]8 f) G力F的力矩就是這兩個(gè)分力對點(diǎn)O的力矩的代數(shù)。即
, |2 X/ j, t0 s( |2 C) S
, Z: j6 d% o" o& uMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)

4 k- g( g/ d2 h3 m+ P- g/ Q2.2.2力偶及其性質(zhì)
$ o* Z/ s1 q4 `" `
2 d2 N. j% a! r3 j7 S1.力偶的定義
# Y7 U" j3 p2 b" b. j
在工程實(shí)踐中常見物體受兩個(gè)大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，用手?jǐn)Q水龍頭、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤等。

3 D" H9 h1 s" q, _# @; _2 w4 W
8 U+ C6 Z  F3 R; f" `
9 V. X# A4 \& |3 O- g力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶。記作(F，F(xiàn)')
# h& _% x* b8 H0 ~% V
) d4 r& C+ R$ Q) B, y0 ?2 E力偶作用面——兩個(gè)力所在的平面
. r* N2 Y+ ^% ^' W& y
力偶臂——兩個(gè)力作用線之間的垂直距離d

$ ^, G7 ?- v' D0 C) p力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向

0 W) ?+ F  i. `力偶只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)或改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。怎樣度量？

4 U. u1 i0 Y/ u6 r力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用力對點(diǎn)的矩度量。

) ]. m& n& l0 O# `+ X& i  u- n7 w設(shè)物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F(xiàn)')，該力偶對任一點(diǎn)O的矩為
) n* e4 V) a1 `8 U


Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd

由于點(diǎn)O是任意選取的，故力偶對作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關(guān)）
1 l4 ]9 Q( N0 `0 G$ h, t
# h6 }9 c+ [3 [3 }$ a8 k力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M

M(F,F')=±Fd 規(guī)定：力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。

! u2 u0 g; D: R4 M力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數(shù)量。
6 L0 `$ H; T$ m' z* g6 ^
Mo(F) = ± Fd

2 x8 M: p2 o8 v/ {8 m' \力偶的三要素——大小、轉(zhuǎn)向和作用平面

2.力偶的性質(zhì)

6 S" M! p% u( j1 J' d5 N（1）力偶無合力。
; V4 f5 e' ?  b+ k0 T
力偶不能用一個(gè)力來等效，也不能用一個(gè)力來平衡。

8 R' s" ?+ z9 q/ m4 S  ^可以將力和力偶看成組成力系的兩個(gè)基本物理量。
4 k, b  b8 @: J; p# t
（2）力偶對其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，恒等于其力偶矩。
; Q& ]; C  G6 Q7 Q" i/ ~- c
- D9 D. k# z9 q( g# c（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個(gè)力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。

! D" |1 k- [  h. n5 W: ?力偶的等效條件：
! ^/ K6 v/ _4 a+ Q9 D1 J7 q
1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無關(guān)。
# e- \1 \" d% X1 ?
2）只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會(huì)改變力偶對物體的作用。
  Q" R$ L9 o# C, B
2.2.3平面力偶系的合成與平衡
! V/ d% i( v! t
: \; B' U, u' M- J. R( U/ f: `) ?3 {平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個(gè)力偶。
; y' j+ @# H) t  b7 F6 l
1.平面力偶系的合成

# h) Z% A, i0 ]9 S. N3 l) l  N例 兩個(gè)力偶的合成
, S5 E2 \, N" @$ H; B

M=M1+M2+---+Mn
, P- t( z* Y# O2 k. }0 e
8 i8 ~1 |% g; R1 q5 J$ j0 H
————力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和

2.平面力偶系的平衡
  A; Y3 H( O& z, t/ g9 g3 Q
8 H7 f( m/ ]0 [( N* d: w* S% E平面力偶系合成的結(jié)果為一個(gè)合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，
9 W7 O1 r& b9 \) y" V0 x4 C1 F; f1 N" l
例2-4 梁AB 受一主動(dòng)力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計(jì)，求兩支座的約束反力。
2 m; }  Q$ U% K0 x' T/ `
) u+ ]* I8 k. N9 V
' P7 X3 Z4 U" R: r- ~, F
解 （1）以梁為研究對象，進(jìn)行受力分析并畫出受力圖
) o7 D" x: n# F& m( S. C$ e3 S: }
FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
! D; r/ Z! n) e+ B" ~: j
8 o  A& h. m. @9 p* h) t  F+ W（2）列平衡方程
: M$ n) ~; I! a7 X  Y, A
9 K$ W! |1 P9 W' }# F1 h6 O# f   

2.3 平面一般力系
7 z! V5 c5 q9 s/ V8 [! y6 v4 @; G
" v, K% h5 t" D! @平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi)，既不相交于一點(diǎn)又不完全平行。
- [8 B3 s. h* T1 p' U9 t; W
% O, ^' F- p/ @2 P
* I8 k1 ~: H1 l5 c" |% l& @
上圖起重機(jī)橫梁AB受平面一般力系的作用

: G3 `  h0 F2 B: q2.3.1平面一般力系的簡化
$ D  Q5 X& r! f0 P9 u  K
1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動(dòng)，而不改變其對剛體的作用效應(yīng)。
0 B1 }  R/ c& r( n! R
/ i( o; `! N" j8 _: `& Y問題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置？
  a" b7 `: }7 v- d
- N8 K* Q! W# I將作用在剛體上A點(diǎn)的力F平移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)O，
1 G$ H' ^. o5 ]+ O: n/ ?- S' i0 C


附加力偶，其力偶矩為
) P) l! p$ x  E* u/ [% t
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)

- h. k' i3 A. S( |, @上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點(diǎn)的力矩。
1 `3 Z+ c4 T8 T; M, E
于是，在作用于剛體上平移點(diǎn)的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應(yīng)就與力F作用在A點(diǎn)時(shí)等效。
- c7 ?% w  x$ _# J( p2 m7 Q
0 r7 m  |( h( B力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點(diǎn)的力矩。
, e/ e& w( I; H+ a
7 h, m" y. Q$ [9 P/ j. b# v; I: Y$ a根據(jù)力的平移定理，可以將力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶；也可以將一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力。
! T; o3 e6 t. ?/ w1 \7 u! E
7 ]' @7 q1 F& J3 y
2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡化

* j" |8 n8 g7 Z
0 c5 D* L9 C- n, S

# F3 o7 R/ z+ g, i* G, m( e4 F* F9 Fα——主矢與x軸的夾角
* m+ p% Q7 d9 W, c1 g
- n' B+ ^! A4 k9 s* _Mo——平面一般力系的主矩
% V3 M1 g: F& ?8 [, H  b7 k
主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和。

（由于每一個(gè)附加力偶矩等于原力對平移點(diǎn)的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數(shù)和，作用在力系所在的平面上。）
" @9 X9 H& I: L
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
3 N& p) {5 K8 S# ^' }
平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡化，得到一個(gè)主矢 F'R 和一個(gè)主矩 Mo，
) o3 a) Z4 e' a' ~! r* a: ~" k. X" ^) m
    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關(guān)。

    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡化中心的選擇有關(guān)。
% F7 A: B# T5 B6 k- c
( @8 P8 o" s# r3. 簡化結(jié)果分析
: k+ J3 R4 U: s4 n% S
( S& P& h  u3 k    平面一般力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，得到一個(gè)主矢 F' R 和一個(gè)主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結(jié)果，如果進(jìn)一步分析簡化結(jié)果，則有下列情況：

0 E1 L% }' C* M) w+ }1 }+ Y# Y" WF'R =0, M o ≠0

1 p6 `# U8 m" i* p& gF'R≠0, M o =0
+ Q5 x1 O! p3 @+ A
1 s3 A4 `9 W$ v" o: h0 X$ jF'R ≠0, M o ≠0
! j- a- t% l, W
# ~. c# G, {8 S- D' [- ^F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡
  z  Q8 q" A3 a) @# o/ X, K
1.平面一般力系的平衡條件
2 x- }% C) \, u0 y
. P; e3 o3 i  V/ C( \平面一般力系平衡的必要與充分條件為：



0 I! ]  i" `3 b" W  P  

2.平面平行力系的平衡條件

3 r. E  J$ t6 [$ M7 b3 N3 u平面平行力系的平衡方程為



8 B& r# E( e- [, y平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此只能求出兩個(gè)未知量。
% C4 _; _* v7 @0 z" `6 r, C' N
例2-6 塔式起重機(jī)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖所示。設(shè)機(jī)架重力 G =500kN ，重心在C點(diǎn)，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠(yuǎn)距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機(jī)在滿載與空載時(shí)都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。
! g( E, F) ?  U
) g0 ?! P: t: K/ R/ X: [
% D4 A$ U3 ?' d. l- ^7 [) ^
解：取起重機(jī)為研究對象。

9 `( ?+ W' ?+ Q是一平面平行力系
2 }4 T5 ^8 C8 Q* D8 c/ n
3.物體系統(tǒng)的平衡條件
. V2 S! x: M/ k2 e/ L4 c3 B
5 t2 P  F+ L1 J0 w7 S' M物系——由多個(gè)構(gòu)件通過一定的約束組成的系統(tǒng)。
  U9 \8 Y6 X* Z* `+ j# x2 E
1 y3 l, y7 E! M0 W5 y6 D; N, e- i    若整個(gè)物系處于平衡時(shí)，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。因此在求解有關(guān)物系的平衡問題時(shí)，既可以以整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，也可以取單個(gè)構(gòu)件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。3n

物系外力——系統(tǒng)外部物體對系統(tǒng)的作用力

# \/ w6 r" H7 p; ]$ i5 o# Z! P物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力

, n$ b) ]8 _# d- O9 C物系的外力和內(nèi)力只是一個(gè)相對的概念，它們之間沒有嚴(yán)格的區(qū)別。當(dāng)研究整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，由于其內(nèi)力總是成對出現(xiàn)、相互抵消，因此可以不予考慮。當(dāng)研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問題時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。

草原蒙狼

上面沒有高級回復(fù)，所以不顯示圖形，請管理員刪除?？聪旅?br /> * C5 W: G. W& g) n
: h) N. w& C0 r

2.1 平面匯交力系

平面匯交力系的工程實(shí)例：

9 V1 Y) C/ x  W4 x+ G3 D2.1.1 力的分解
5 ^, C% N9 s- l; N+ p按照平行四邊形法則，兩個(gè)共作用點(diǎn)的力，可以合成為一個(gè)合力，解是唯一的；
但反過來，要將一個(gè)已知力分解為兩個(gè)力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。
1 E7 ?4 L+ ?! r$ G( E, E1 {2 H- V2.1.2 力在坐標(biāo)軸上的投影

注意:力的投影是代數(shù)量，它的正負(fù)規(guī)定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時(shí)，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負(fù)值。
/ G- ]- a; L# K" ^# F" k% E
2.1.3合力投影定理

5 o# V8 }# C& c3 k( O ' h% J4 d, U0 Y3 m$ Z8 d' F/ a/ X: h0 w 4 s7 a/ ?" R7 J6 O- z# W, a

合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。
4 c: L0 N+ [4 M3 I3 s$ R2 @2.1.4 平面匯交力系的平衡條件
平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態(tài)。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即

8 H: w- p" n% @* S0 Q8 d! h1 O( y 即

' _( G$ h  s& ~+ I  h" S$ b% t- ?2 U: R力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上投影的代數(shù)和都等于零。這是兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量。
1 n9 ^8 B) W3 c+ y: S例2-1 如圖所示為一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大小）

! K( M  B% @% y! |# |例2-2 圖示為一簡易起重機(jī)裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計(jì)，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計(jì)，各處接觸都為光滑。試求當(dāng)重物被勻速提升時(shí)，桿AB、AC所受的力。

# l  ^0 g6 i3 X9 o解 因?yàn)闂UAB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
4 A' t( V1 ?7 |% x) ^( z
% G6 {9 l- h* A+ r" I解靜力學(xué)平衡問題的一般方法和步驟：
1.選擇研究對象 所選研究對象應(yīng)與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關(guān)系，這樣才能應(yīng)用平衡條件由已知條件求未知力；
& l% }* M: R$ F# L" _% e2.畫受力圖 根據(jù)研究對象所受外部載荷、約束及其性質(zhì)，對研究對象進(jìn)行受力分析并得出它的受力圖。
: z$ Q3 c5 f. F8 F! l3.建立坐標(biāo)系，根據(jù)平衡條件列平衡方程 在建立坐標(biāo)系時(shí)，最好有一軸與一個(gè)未知力垂直。
+ W8 `9 A( L8 X8 b+ F7 u+ @/ K在根據(jù)平衡條件列平衡方程時(shí)，要注意各力投影的正負(fù)號(hào)。如果計(jì)算結(jié)果中出現(xiàn)負(fù)號(hào)時(shí)，說明原假設(shè)方向與實(shí)際受力方向相反。

2.2 力矩與平面力偶系

2.2.1 力對點(diǎn)之矩?(簡稱為力矩)

1.力對點(diǎn)之矩的概念

為了描述力對剛體運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，引入力對點(diǎn)之矩的概念。

力對點(diǎn)之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd
/ s- Z9 @" V. F! j% x0 y一般地，設(shè)平面上作用一力F，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O——矩心，O點(diǎn)到力作用線的垂直距離d稱為力臂。
, U) B, O4 ?. r4 O6 t. Z1 F, P
# h# v2 H6 E  h9 e" ~Mo( F ) = ± 2△OAB
力對點(diǎn)之矩是一代數(shù)量，式中的正負(fù)號(hào)用來表明力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。
. G; a: `. `  d4 c& H  b矩心不同，力矩不同。
規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。
力矩的單位是Nmm。
0 p# a; ^& a& l4 J' ?" l- }( x由力矩的定義可知：
（1）若將力F沿其作用線移動(dòng)，則因?yàn)榱Φ拇笮　⒎较蚝土Ρ鄱紱]有改變，所以不會(huì)改變該力對某一矩心的力矩。
（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F(xiàn)≠0，則d=0，即力F通過O點(diǎn)。
力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。
2.合力矩定理
設(shè)在物體上A點(diǎn)作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。

計(jì)算力系中各力對平面內(nèi)任一點(diǎn)O的矩，令OA=l，則
Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
+ o, m' i9 n5 S4 ^Mo(F2)=F2yl
) n: c/ x5 K( k  mMo(Fn)=Fnyl
由上圖可以看出，合力F對O點(diǎn)的矩為
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
, L* K2 ?9 @- b* X: i1 h5 J" Y+ v9 \( h據(jù)合力投影定理，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
6 d6 _6 E9 b' }6 P0 j( }6 _Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
$ p& o5 l1 [. j+ P, \
- k- `" p# ~& q9 ?合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于其所有分力對同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。
3.力對點(diǎn)之矩的求法(力矩的求法)
& Z$ F5 S0 S" I" L! P0 n# j（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。
! b# @; o+ k9 T0 l. z: x注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?
- [* X- k" c* }0 L- X' L$ q& o（2）運(yùn)用合力矩定理求力矩。力分解
' \/ [2 A& h" H! M4 D! \例2-3 如圖所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點(diǎn)，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點(diǎn)的力矩。
5 D2 J* p; L1 C
解 （1）利用力矩的定義進(jìn)行求解
; ^: H7 d: L8 R/ |
1 Q; r; g" O# A3 _如圖，過點(diǎn)O作出力F作用線的垂線，與其交于a點(diǎn),則力臂d即為線段oa 。再過B點(diǎn)作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點(diǎn)，則有
/ c/ |. t" r- l) @
（2）利用合力矩定理求解
將力F分解成一對正交的分力
2 `. X' ]4 A- i  [: u" s
+ Q. d3 g8 E% U* i" ^# T3 n6 X7 P力F的力矩就是這兩個(gè)分力對點(diǎn)O的力矩的代數(shù)。即
% C/ @5 ?# v/ i, jMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
2.2.2力偶及其性質(zhì)
/ e% K2 t8 l9 j" s4 u) ~: `1.力偶的定義
, ~* f; j3 i$ d6 o7 y在工程實(shí)踐中常見物體受兩個(gè)大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，用手?jǐn)Q水龍頭、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤等。
! a9 H8 K% F# w1 R2 r+ ^$ r
力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶。記作(F，F')
力偶作用面——兩個(gè)力所在的平面
力偶臂——兩個(gè)力作用線之間的垂直距離d
8 {# W4 p0 e. V! w, t0 F* n/ ^0 C9 \力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向
力偶只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)或改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。怎樣度量？
力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用力對點(diǎn)的矩度量。
" ?# C4 u7 @* Y8 @$ N. {設(shè)物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F(xiàn)')，該力偶對任一點(diǎn)O的矩為

Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
8 N* \) V" c; A+ U" }/ p由于點(diǎn)O是任意選取的，故力偶對作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關(guān)）
7 m4 K5 w7 ]6 O( n力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd 規(guī)定：力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。
& G& G* ^! t0 {2 I5 j7 O: ?9 X力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數(shù)量。
Mo(F) = ± Fd
7 @! ]# m" ^( x' x# D$ W2 V9 Z- S力偶的三要素——大小、轉(zhuǎn)向和作用平面
2.力偶的性質(zhì)
% d. B9 ~" \4 L（1）力偶無合力。
力偶不能用一個(gè)力來等效，也不能用一個(gè)力來平衡。
- L- F) r2 S7 e7 N9 E6 c可以將力和力偶看成組成力系的兩個(gè)基本物理量。
+ h, \2 U' q+ Y/ g（2）力偶對其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，恒等于其力偶矩。
（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個(gè)力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。
& z0 R6 ]$ u! w. T+ A! B6 L力偶的等效條件：
9 A9 M9 H6 u& F( S1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無關(guān)。
& y" {8 f1 v! Y7 j2）只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會(huì)改變力偶對物體的作用。
0 ?/ J$ \( I- a  y# ~) @/ t2.2.3平面力偶系的合成與平衡
+ q8 z. q% n+ B1 M% w8 l平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個(gè)力偶。
1.平面力偶系的合成
: Q" c( b$ ]3 C) P* \# }" c例 兩個(gè)力偶的合成

M=M1+M2+---+Mn

————力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
+ l/ K- @1 ]/ {9 i! V4 t* j平面力偶系合成的結(jié)果為一個(gè)合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，
例2-4 梁AB 受一主動(dòng)力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計(jì)，求兩支座的約束反力。

解 （1）以梁為研究對象，進(jìn)行受力分析并畫出受力圖
FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
, y; @4 M; x# w0 {! T# y（2）列平衡方程

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi)，既不相交于一點(diǎn)又不完全平行。

上圖起重機(jī)橫梁AB受平面一般力系的作用
% ^; @+ j( P$ q( d3 k2.3.1平面一般力系的簡化
2 k2 A; E' G5 ]  v: j% g0 C" z1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動(dòng)，而不改變其對剛體的作用效應(yīng)。
問題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置？
+ G* c) ^# F5 @! k+ I! t將作用在剛體上A點(diǎn)的力F平移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)O，

附加力偶，其力偶矩為
1 Q, G( p! G+ i0 w8 dM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點(diǎn)的力矩。
于是，在作用于剛體上平移點(diǎn)的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應(yīng)就與力F作用在A點(diǎn)時(shí)等效。
力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點(diǎn)的力矩。
根據(jù)力的平移定理，可以將力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶；也可以將一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力。
# H8 d+ J0 h; P9 r& Z6 ?5 z8 k
2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡化

α——主矢與x軸的夾角
3 n( v" f4 l1 o/ ^* s& LMo——平面一般力系的主矩
主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和。
; Y/ k3 H% M  ]/ F8 |. n（由于每一個(gè)附加力偶矩等于原力對平移點(diǎn)的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數(shù)和，作用在力系所在的平面上。）
2 ^$ V" y4 d0 _' x; Y; qMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡化，得到一個(gè)主矢 F'R 和一個(gè)主矩 Mo，
' `0 G  y+ O7 ~! r! f7 ]# @- h

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關(guān)。

    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡化中心的選擇有關(guān)。

3. 簡化結(jié)果分析

    平面一般力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，得到一個(gè)主矢 F' R 和一個(gè)主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結(jié)果，如果進(jìn)一步分析簡化結(jié)果，則有下列情況：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要與充分條件為：

& m; |; Y4 K. o  _1 y
2.平面平行力系的平衡條件
( h. l1 Q$ z1 o4 H平面平行力系的平衡方程為
/ c+ N; N9 f/ j5 h' o
& o# i7 ~' n5 {5 v

平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此只能求出兩個(gè)未知量。

例2-6 塔式起重機(jī)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖所示。設(shè)機(jī)架重力 G =500kN ，重心在C點(diǎn)，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠(yuǎn)距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機(jī)在滿載與空載時(shí)都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。

# I* c3 r, G2 }2 K1 e' M) K5 n解：取起重機(jī)為研究對象。
是一平面平行力系

3.物體系統(tǒng)的平衡條件

物系——由多個(gè)構(gòu)件通過一定的約束組成的系統(tǒng)。

    若整個(gè)物系處于平衡時(shí)，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。因此在求解有關(guān)物系的平衡問題時(shí)，既可以以整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，也可以取單個(gè)構(gòu)件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。3n

物系外力——系統(tǒng)外部物體對系統(tǒng)的作用力

物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力

物系的外力和內(nèi)力只是一個(gè)相對的概念，它們之間沒有嚴(yán)格的區(qū)別。當(dāng)研究整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，由于其內(nèi)力總是成對出現(xiàn)、相互抵消，因此可以不予考慮。當(dāng)研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問題時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。

無能

依圖為空間平行力系，其平衡條件是：
P1+P2+P3+P4=W
WB=(P2+P4)A
WD=(P1+P2)C
3個(gè)平衡方程，4個(gè)未知量，此為一次靜不定結(jié)構(gòu)，必須得知各個(gè)桿件的E，補(bǔ)個(gè)變形協(xié)調(diào)方程，方可求解。
對鋼而言，因?yàn)槠鋸椖高達(dá)200Gpa，在靜不定的情況下，某一構(gòu)件長或短若干微米，受力情況就面目全非（比如Φ50X4長100的鋼管，其彈變10微米，外力變動(dòng)就達(dá)1噸多，不可謂不大）。所以此題若將支撐改為3個(gè)，即變身為靜定結(jié)構(gòu)，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
佩服.......無言!!